けテぶれ〜学習力を伸ばす宿題革命〜

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算数と数学の違いーかけ算の順序問題に対する一考ー

「論理パラドックス三浦俊彦著 二見文庫を読んでいてその違いを説明できると思った。

 

算数は具体的事象を扱う

 

数学は抽象的事象を扱う

 

これが僕の仮説

 

算数の5×4=20と数学の5×4=20は違う。

 

よくかけ算の順序問題で炎上しているのはこの観点が欠けているからだと思っている。

 

算数は現実世界と結びついているんだ。

 

だから5個のアメを4袋。は5×4でなければならない。

 

数学は抽象的概念操作なので5が4つあっても、4が5つあっても結局20なんだから、どっちでもいい。5×4も4×5も「20」を表す数学語でしかない。

 

これらが両者を隔てる壁であり、この壁が顕になる問題が上掲書には載っていた。

 

[デモクリトスのジレンマ]

円錐を、底面に平行な一平面に沿って切断しよう。円錐は2つの部分に分かれ、それぞれが断面を持つ。さて、この2つの断面の面積は同じだろうか、違うだろうか。

 

A

面積が違うとすれば、階段状のギザギザした輪郭を持つ立体でなければならない。しかし定義により円錐にはそんな段々など無いはずだ。

 

 B

断面が同じだとすれば円錐は断面が変化することはありえず、どこを切っても同じ面積と成り、全体が円筒形のようにまっすぐな立体でなければならないはずだ。

 

                             「論理パラドックス三浦俊彦著 二見文庫 PP.55-56

 

これを考える時「円錐」をA.現実世界の具体的円錐と見るか、B.数学世界の抽象的円錐で見るかで答えが変わる。

 

A.具体的円錐と見ると、それを切断する時極小であろうとも切断するものの厚みがあるため、断面の大きさは変わる。

 

B.抽象的円錐と見ると、それを切断する時厚みゼロを想定できるため、断面の大きさは変わらない。(しかし断面変化率0/0というのはイコール0ではなく、単に"不定"ということだから、円錐の断面平面においては2つの断面は全く等しいが、少しでも異なる平面においては断面の大きさは異なりうる。本文引用)

 

つまり、切る時に具体的カッターで切るか、抽象的カッターで切るかという差で答えが変わるのである。

 

具体的カッターを使うのが算数。

抽象的カッターを使うのが数学。

 

かけ算の順序問題も、どっちのカッターを使っているのかに注意を向けないと議論にならないんだなぁ。

 

算数は具体的事象と結びついているんだよ。

だから指導時に注意したいのは

 

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こういうこと。

 

でも算数の学習指導要領を見ると「数学的な見方考え方」と出ている…

このへんのことについてはまた今度♪